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Quand j’étais petit’, ça m’intriguait qu’il y ait autant de nombres qu’on veut. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … 1206, 1207, 1208, 1209, 1210, 1211, …  40 205 967 554, 40 205 967 555, 40 205 967 556,… et ça continue. C’est fou, non ? Alors j’avais commencé à les compter ; oui, j’étais déjà bizarre à l’époque. Bien sûr je n’ai jamais fini, vous savez très bien pourquoi. Moi aussi je le savais, que je ne pourrais pas tous les compter. C’était juste pour voir. Et j’ai vu !

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Tous ces nombres sagement rangés l’un après l’autre, à perte de vue. Chacun d’entre eux facile d’accès, simple et sans mystère, qui vous indique volontiers le suivant, tout près. Mais quand vous lui montrez l’horizon, il met un doigt sur sa bouche avec un sourire entendu… Les alignements de Carnac, à côté, c’est de la petite bière.

On peut compter plein de choses : des radis, des sous, des kilomètres, des cailloux, des amants, des octets, des planètes… On peut aussi compter des nombres (dans le premier paragraphe, j’en ai écrit 17). Mais compter tous les nombres ? Eh bien, il y en a une infinité, alors on ne peut pas dire « il y en a tant » ; ça ne marcherait pas puisque « tant » serait un nombre : il y en aurait « tant » jusqu’à celui-là, plus encore d’autres après…

Par contre on peut les numéroter. On peut mettre un numéro à chaque nombre, dans l’ordre qu’on veut ; l’ordre le plus logique étant : 1 en premier, 2 en deuxième, 3 en troisième, etc. On peut aller aussi loin qu’on veut, il aura toujours assez de numéros. On peut numéroter comme ça tous les nombres entiers positifs1.

Ok, ça a l’air assez évident, vu que ces numéros sont basés sur les nombres qu’on numérote. Mais déjà, rien que le fait de pouvoir écrire « etc » et que ça fasse marcher le truc plus loin qu’on ne pourra jamais compter, jusqu’à l’infini, c’est assez épatant. Et c’est pas tout !

On peut aussi numéroter tous les nombres entiers, positifs et négatifs. Oui oui, juste avec des numéros qui eux sont tous positifs. Comme ça : 0 en premier, 1 en deuxième, -1 en troisième, 2 en quatrième, -2 en cinquième, 3 en sixième, -3 en septième, 4 en huitième, etc. Deux suites infinies de nombres peuvent tenir dans une seule ! Comme le Tardis, ce vaisseau spatial dont l’intérieur est beaucoup plus grand que l’extérieur.

Et c’est pas tout ! Oh non, c’est pas tout.

[spoil] La prochaine fois, je vous raconterai comment on peut numéroter toutes les fractions, c’est à dire coudre ensemble l’infini et l’infini au carré… et pourquoi on ne peut pas faire ça aussi avec tous les nombres à virgule. [/spoil]

Voilà, c’est aussi ça les maths. J’espère que ça vous a intéressé un peu plus que vous ne vous y attendiez.

le Tardis

1. Bon, juste pour l’exactitude : on peut faire que pour chaque nombre, un numéro soit prévu d’avance si quelqu’un veut le savoir. Comme un juke-box infini peut jouer n’importe quel disque… si quelqu’un choisit ce disque.